
ÖRNEK UZAY ve ÖRNEK NOKTA
Bir deney sonucunda gelebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay (E), bu kümenin her elemanına da “örnek nokta” denir.
ÖRNEK:
Bir madeni para atıldığında örnek uzayın iki elemanı vardır.
E= {Yazı,Tura}={Y,T}
ÖRNEK:
2 madeni para atılması deneyinde örnek uzay E={YY,YT,TY,TT}
UYARI
N tane madeni paranın havaya atılması (veya bir paranın n kez atılması) deneyinde s(E) = 2.2…..2= 2n dir.
ÖRNEK:
İçerisinde 4 siyah, 3 beyaz ve 2 kırmızı top bulunan bir torbadan rasgele üç top seçme deneyinde örnek uzayın eleman sayısını bulalım.
ÇÖZÜM
Torbada: 4+3+2=9 top vardır. 9 toptan 3’ü seçileceğinden örnek uzayın eleman sayısı:
S(E)= C(9,3) = 9.8.7 = 84 bulalım
1.2.3
ÖRNEK:
1,2,3,4,5 rakamları ile yazılabilecek üç basamaklı sayılar yazma deneyinde örnek uzayın eleman sayısı S(E) = 5.5.5 = 125 dir.
OLAY: Örnek uzayın alt kümelerinden her birine olay denir.
KESİN OLAY: Olması kesin olan olaylara denir. Yani olay kümesi, örnek uzay kümesine eşit olan olaylardır.
İMKANSIZ OLAY: Olması mümkün olmayan olaydır.
ÖRNEK:
- İki madeni para atılması deneyinde en az bir tura gelmesi olayı;
A = {TT,TY,YT} olur.
- İki zarın havaya atılması deneyinde üste gelen sayıların
- i) Aynı olması olayı A olsun.
A = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
- ii) Toplamının 5 olması olayı B olsun
B = {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} dır.
iii) Toplamının 14 olması imkansız olaydır.
- iv) Birinin 7’den küçük, diğerinin 0’dan büyük olması olayı kesin olaydır.
OLASILIK FONKSİYONU
E örnek uzayının tüm alt kümelerinin kümesi K olsun.
P:K [0,1]
A P(A) fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlıyor ise P fonksiyonuna “olasılık fonksiyonu” denir.
- 0 ≤ P(A) ≤ 1
- P(Æ) = 0 (imkansız olay)
- P(E) = 1 (kesin olay)
- P(A’) : A olayının olmama olasılığı ise ve
P(A) = 1-P(A’) dir.
EŞ OLUMLU ÖRNEK UZAY
Yapılan bir deneyde bütün çıkabilenlerin olasılıkları eşit ise “eş olumlu örnek uzay” denir.
P(A) = s(A) = İstenen durumlar sayısı dır.
s(E) Tüm durumlar sayısı
ÖRNEK:
- i) Bir madeni para atılması deneyinde yazı gelmesi ile tura gelmesi olasılıkları eşittir.
P(Y) = P(T) = 1 dir.
2
- ii) Bir zar atılması deneyinde 1 gelme olasılığı ile 2,3,4,5 ve 6 gelme olasılıkları eşittir.
AYRIK OLAYLAR
Bir örnek uzaya ait iki olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya “ayrık olaylar” denir. A ve B ayrık iki olay ise A veya B den en az birinin ortaya çıkma olasılığı, bu iki olayın olasılıkları toplamına eşittir.
P(AÈB) = P(A) + P(B) dir.
ÖRNEK:
Bir zar atıldığında
Tek sayı gelme olayı: A = (1,3,5)
Çift sayı gelme olayı: B = (2,4,6)
Asal sayı gelme olayı C = (2,3,5) olsun.
Buradan :
- A Ç B = (1,3,5) Ç (2,4,6) = Æ olduğundan A ve B ayrık olaylardır
- A Ç C = (1,3,5) Ç (2,3,5) = (3,5) olduğundan ayrık olaylar değildir.
NOT: A ve B ayrık olaylar değil ise
P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(A Ç B) dir.
ÖRNEK :
Bir kutuda 5 siyah ve 4 beyaz top bulunmaktadır. Bu kutudan
- Çekilen bir topun siyah olma olasılığı :
P(S) = Siyah top sayısı = 5 bulunur.
Toplam top sayısı 9
- Çekilen iki topun ikisinin de beyaz olma olasılığını bulalım.
İstenen durum sayısı: 4 beyaz toptan 2 tanesini çekmek s 4 = 6 dir.
2
Tüm durumlar sayısı : Toplam 9 toptan 2 tanesini çekmek s(E) = 9 = 36 dir.
2
Sonuç olarak : P(A) = s(A) = 6 = 1 dır.
S(E) 36 6
- Çekilen iki topun farklı renkte olma olasılığını bulalım.
İstenen durum sayısı: s(A) = 5 4 = 20 dır.
1 1
P(A) = s(A) = 20 = 5 olur.
s(E) 36 9
- Çekilen iki toptan birincinin siyah, ikincinin beyaz olma olasılığını bulalım. Buradan sıralama verilmektedir. Birincinin siyah olma olasılığı = 5 dır. Kalan top
9
sayısı 9 – 1 = 8 olduğuna göre ikincinin beyaz olma olasılığı = 4 dir.
8
Sonuç olarak:
P(BS) = 5 . 4 = 5
9 8 18
ÖRNEK:
İçinde 6 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan bir torbadan çekilen bilye tekrar torbaya atılmak üzere iki bilye çekiliyor.
- Çekilen iki bilyenin ikisinin de kırmızı olma olasılığı
- Çekilen iki bilyenin farklı renkte olma olasılığı
- Çekilen iki bilyenin aynı renkte olma olasılığı
- Çekilen iki bilyeden birincisinin kırmızı ikincisinin beyaz olma olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM:
- P(KK) = 5 . 5 = 25 dır.
8 8 64
- b) P(KS) + P(SK) = 6 . 4 + 4 . 6
10 10 10 10
= 48 = 12
- 25
- c) P(KK) + P(BB) = 6 . 6 + 4 . 4
10 10 10 10
= 52 = 13
- 25
- d) P(KB) = 6 . 4 = 24 = 6
10 10 100 25
ÖRNEK:
Bir torbada bulunan 6 beyaz 5 kırmızı ve 4 siyah bilye vardır. Torbadan rastgele çekilen 3 bilyenin
- Üçününde beyaz olma olasılığı
- Üçününde aynı renkte olma olasılığı
- Üçününde farklı renkte olma olasılığı
- nin beyaz, 2. nin kırmızı ve 3. nün siyah olma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
6+5+4 = 15 bilyeden 3’ü C(15,3) = 455 değişik şekilde seçileceğinden örnek uzayın eleman sayısı s(E) = 455’tir.
- Seçilen üç bilyenin üçünün de beyaz olma olayı A olsun.
6 beyaz bilyeden 3’ü C(6,3) = 20 değişik şekilde seçileceğinden s(A) = 20 dir.
P(A) = s(A) = 20 = 4 bulunur.
S(E) 455 91
- Üçününde aynı renkte olma olayı B olsun.
6 beyazdan, 3 beyaz: C(6,3) = 20
5 kırmızıdan, 3 kırmızı: C(5,3) =10
4 siyahtan, 3 siyah: C(4,3) = 4 değişik şekilde seçileceğinden, aynı renkli 3 bilye 20+10+4 = 34 farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre
P(B) = s(B) = 34
S(E) 455
- Seçilen her 3 bilyeninde farklı renklerde olma olayı C olsun.
6 beyazdan biri C(6,1)
5 kırmızıdan biri C(5,1) s(C) = C(6,1).C(5,1).C(4,1)
4 siyahtan biri C(4,1) =6.5.4 = 120
ise s(C) = 120 = 24
s(E) 455 91
- Bu soruda sıralama vardır.
Birincinin beyaz olma olasılığı : 6
15
İkincinin kırmızı olma olasılığı : 5
14
Üçüncünün siyah olma olasılığı : 4
13
P(D) = 6 . 5 . 4 = 4
15 14 13 91
ÖRNEK:
3 kadın ve 4 erkekten oluşan bir komitenin üyelerinin adları birer karta yazılarak bir torbaya konuluyor. Torbadan rastgele çekilen 3 kartın birinde bir kadının diğerlerinde birer erkeğin isimlerinin yazılı olma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
Torbadan 3 kart çekildiğinde, çekilenlerin kümesi örnek uzay E ise
s(E) =C(7,3) = 35 tir.
Çekilen 3 karttan birinde bir kadın diğerlerinde birer erkeğin isimlerinin yazılı olma olayı A olsun.
S(A) = s(A) = 18 bulunur.
s(E) 35
ÖRNEK:
3 madeni para atılıyor. Bu atışta en az bir tura gelme olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
E = { YYY,YYT,YTY,TYY,YTT,TYT,TTY,TTT}
Ve en az bir tura gelmesi
A = {YYT,YTY,TYY,YTT,TYT,TTY,TTT}
P(A) = 7 dir.
8
Veya : En az bir tura gelmesini hiç yazı gelmemesi şeklinde de ifade edebiliriz.
P(A) = 1 – P(YYY) = 1 – 1 = 7 dır.
- 8
ÖRNEK:
A = {1,2,3,4,5} kümesinin elemanları ile farklı 3 basamaklı sayılar ayrı ayrı kartlara yazılıp torbaya konuyor.
Torbadan rastgele çekilen bir karttaki sayının tek olma olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM:
Rakamları farklı 3 basamaklı tüm sayılar
s(E) = 5 . 4 . 3 = 60 tanedir.
Bunlardan tek sayı olanları
s(A) = 3 4 3 = 36 tanedir.
P(A) = s(A) = 36 = 3 dir.
s(E) 60 5
ÖRNEK:
Bir sınava giren A,B,C isimlerinden oluşan 3 öğrenciden A’nın sınavı kazanma olasılığı B’nin kazanma olasılığının 2 katı, B’nin sınavı kazanma olasılığı ise C’nin kazanma olasılığının 2 katı olduğuna göre A’nın sınavı kazanma olasılığı
3
nedir?
ÇÖZÜM:
P(A) = 2P(B) ve P(B) = 2 . P(C) dir
3
2.P(B) + P(B) + 3P(B) = 1 ise P(B) = 2
2 9
ve P(A) = 2P(B) = 2.2 = 4 bulunur.
9 9
KOŞULLU OLASILIK
A,B;E örnek uzayında iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A’nın B’ye bağlı koşullu olasılığı denir ve
P(A / B) ile gösterilir.
P(A / B) = P(A Ç B) , P(B) ¹ Æ
P(B)
ÖRNEK:
Bir çift zarın birlikte atılması deneyinde zarlardan birinin 5 geldiği bilindiğine göre, toplamının 10’dan büyük olma olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM:
İki zarın atılması deneyinde örnek uzay;
E = {(1,1), (1,2),… (6,5), (6,6)} yani
s(E) = 36 dır.
B = {(5,1), (1,5), (5,2), (2,5), … (5,6)} yani
s(B) = 11 dir.
A = {(5,6),(6,5)} ise s(A) = 2 ve A Ç B = {(5,6),(6,5)} Buna göre,
s(A Ç B)
s(E)
P(A / B) = P(A Ç B) = = s(A Ç B) = 2
P(B) s(B) s(B) 11
s(E)
ÖRNEK:
1’den 10’a kadar (10 top) numaralandırılmış, aynı özellikteki toplar arasından rastgele çekilen bir topun asal sayı olduğu bilindiğine göre, çift sayı olma olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM:
E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ise s(E) = 10
B = {2,3,5,7} ise s(B) = 4
A = {2} ise s(A) = 1
Buna göre;
s(A Ç B)
s(E)
P(A / B) = P(A Ç B) = = 1
P(B) s(B) 4
s(E)
ÖRNEK:
25 kişilik bir sınıfta fizik dersinden geçen 10 kişidir. Matematik ve fizik derslerinden her ikisinden geçen 3 kişidir. Her iki dersten kalan ise 10 kişidir. Bu sınıftan seçilen bir öğrencinin matematikten geçtiği bilindiğine göre fizikten de geçmiş olma olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM:
Yukarıdaki ifadeye göre şema çizilirse;
E M F
5 3 7
10
P(F/M) = P(F ÇM) = 3 bulunur.
P(M) 8
SONSUZ ÖRNEK UZAYLI OLAYLAR:
Örnek uzay E, E = {e1,e2,e3,….} gibi sayılabilir sonsuzlukta örnek uzay olsun. Aynı şekilde olay A = {a1,a2,a3,…} gibi sayılabilir sonsuzlukta bir olay ise,
P(A) = s(A) dir.
S(E)
Örnek uzay bir şeklin alanı, uzunluğu gibi sayılabilir sonsuzlukta ifadelerdir. Aynı şekilde olay kümesi de bu örnek uzayın herhangi bir kesiti ise olasılık yukarıda ifade edildiği gibi,
P(A) = A nın uzunluğu ya da
E nin uzunluğu
P(A) = A nın alanı biçiminde hesaplanır.
E nin alanı
ÖRNEK:
Bir çemberin içerisinde rasgele seçilen bir noktanın çemberden çok merkezine yakın olma olasılığı kaçtır?
r
B
O r/2
A
ÇÖZÜM:
O merkezli büyük çemberin yarıçapına r dersek, küçük çemberin yarıçapı da r olur. 2
Rasgele işaretlenen noktanın B bölgesi olması istendiğine göre,
Örnek uzay: A + B bölgelerinin alanları toplamıdır.
Olay: B bölgesinin alanıdır.
Buna göre olasılığı ise,
2
1 r r2
B nin alanı = 2 .p = 4 = r2 = 1
(A+B) alanı p.r2 r2 4r2 4
YİNE BEKLERİM :)))
[wp_ad_camp_5]
İlk yorum yapan olun