Matematik Karışım problem soruları ve çözüm yöntemleri
*** Genel Denklem: Çözünen madde miktarı (gr) / Toplam Karışım (gr) = x / 100
** Çözünen madde (genelde tuz, şeker veya alkol) mikarı: ç, toplam karışım: k olsun.
Karışımın %x i tuz ise: k.(x/100) / k denklemi ile soru çözülmeye başlanır.
Karışımın %y si su ise: k.(100-y)/100 / k denklemi ile soru çözülmeye başlanır.
Not: Soruda su da verilmiş olsa, pay kısmına daima tuz, şeker veya alkol miktarını yazıyoruz.
Karışımda a gr su, b gr tuz var ise b / (a+b) = x / 100 denklemi tuz yüzdesini verir.
Karışımda a gr su, b gr tuz var ise a / (a+b) = x / 100 denklemi su yüzdesini verir.
Not: Soruda su yüzdesi bile sorulsa denklem tuz, şeker veya alkole göre (pay kısmına yazılanlar) çözülür, bulunan sonuç %100’den çıkarılır ve
sonuca ulaşılır.
A gr lık karışımın %20si şekerdir. Karışıma x gr şeker eklenirse; A. (20/100) + x / A+x şeker miktarı hem paya, hem paydaya
eklenir.
A gr lık karışımın %20si şekerdir. Karışıma x gr su eklenirse; A. (20/100) / A+x su miktarı sadece paydaya eklenir.
A gr lık karışımın %20si şekerdir. Karışımdan x gr su buharlaştırılırsa; A. (20/100) / A-x buharlaşan sadece su olacağı için sadece
paydadan çıkarılır.
A gr lık karışımın %20si şekerdir. Karışıma x gr şeker, y gr su eklenirse; A. (20/100) +x / A + x + y şeker miktarı hem paya, hem
paydaya, su sadece paydaya eklenir.
A gr lık karışımda x gr tuz vardır. Bu karışım ¼ ü dökülürse; (x – (x/4)) / (A- (A/4)) hem tuzun, hem de toplam karışımın ¼ ü
eksiltilir.
** 300 gr lık karışımda 90 gr tuz vardır. Bu karışım 1/3 ü dökülür ve dökülen miktar kadar yerine;
Tuz konursa; 90-30+100 / 300-100+100 (dökülen miktar 100 gr. dır. 100gr tuz hem paya hem paydaya eklenir.
Su konursa; 90-30 / 300-100+100 (dökülen miktar 100 gr. dır. 100gr su sadece paydaya eklenir.)
%20 si tuz olan karışım eklenirse; 90-30+20 / 300-100+100 (dökülen miktar 100 gr. dır. 100gr karışımın %20si yani 20gramı tuzdur
ve karışım paydaya, tuz paya eklenir.)
** A gr. karışımda x gr tuz, B gr. karışımda y gr tuz vardır. İki karışım bir kapta karıştırılırsa; x+y / A+B = ? / 100
** A gr. karışımda x gr tuz, B gr. karışımda y gr tuz vardır. A gr karışımın 1/3 ü, B gr karışımın 1/4 ü başka bir kapta iki karışım karıştırılırsa;
(x.1/3+y.1/4) / (A/3+B/4) = ? / 100
** 200 gr. A karışımında 40gr tuz, 300 gr. karışımda 30 gr tuz vardır. A gr. karışımın yarısı B’ye dökülüp karıştırıldıktan sonra, B karışımının
1/5 ü A’ya dökülürse; A= 40-20 / 200-100yani 20/100 —-‡ B= 30+20 / 300+100 yani 50 / 400’in 1/5i 10/80 A’ya dökülecek 20+10 /
100+80= 30 / 180 = ? / 100
** Karışım problemlerinin genelinde %de üzerinden gidilirken altın ayar sorularında 24 üzerinden, gümüş ayar sorularında 1000 üzerinden
hesaplanır.
A gr ziynet eşyasında x gr saf altın varsa; x/A = ? / 24 denklemiyle ayarı bulunabilir.
Y ayar ziynet eşyası B gram ise; y/24 = ? / B denklemiyle ziynet eşyasında saf altın gramı bulunabilir.
İçerisinde x gr. saf altın olan A gr. ziynet eşyasına y gr saf altın katılırsa; x+y / A+y = ? / 24 son ayar bulunabilir.
** Farklı fiyat ve ağırlıklarda alınıp karıştırılan ürünlerin satılması; Her farklı ürünün fiyat ve kiloları çarpılır ve en son hepsi toplandıktan
sonra toplam kiloya bölünerek ortalama fiyat bulunabilir.
Yüzde-Kar/Zarar problem soruları
Bir sayının %20si; x.20/100
Hangi sayının %30 unun %40ı; x.(30./100).(40/100)
Bir sayının %25i ile %35inin toplamı; x.(25/100) + x.(35/100)
Hangi sayının %45i ile %15inin farkı; x.(45/100) – x(15/100)
Bir sayının %20 fazlası; x + x.(20/100) kısaca x.(120/100)
Hangi sayının %10 eksiği; x – x(10/100) kısaca x.(90/100)
Bir sayının %25 eksiğinin %15 fazlası; x.(75/100).(115/100)
Hangi sayının %30 fazlası ile %20 eksiğinin farkı; x.(130/100) – x.(80/100)
Bir sayının %10 fazlasının %20sinin %30eksiği; x.(110/100).(20/100).(70/100)
Cepteki para: p olsun. Cepteki paranın (maaşın) %20si harcanıyor, kalanın %25i harcanıyor, kalanın %15i harcanıyor ve x TL
kalıyorsa; p.(80/100).(75/100).(85/100)=x buradan p bulunabilir.
A sayısı artarak B olmuşsa; B-A / A = ? / 100 (yüzde artışı verir)
A sayısı azalarak B olmuşsa; A-B / A= ? / 100 (yüzde azalışı verir)
A sayısı B sayısından % kaç fazladır: A – B / B (Pay kısmına her zaman büyük sayı – küçük sayı; payda kısmına –dan, -den eki veya
göre kelimesi almış; karşılaştırmada baz alınan sayı yazılır)
B sayısı A sayısından % kaç fazladır: B – A / A (Pay kısmına her zaman büyük sayı – küçük sayı; payda kısmına –dan, -den eki veya
göre kelimesi almış; karşılaştırmada baz alınan sayı yazılır)
A’nın %x i B’nin kaçıdır: A.(x/100)=B.(?/100)
A sayısı B’nin % kaçıdır: A=B.(?/100)
A sayısı B’nin % kaç fazlasıdır: A=B.[(100+x)/100] : x direk cevabı verir.
A sayısı B’nin % kaç eksiğidir: A=B.[(100-x)/100] : x direk cevabı verir.
A sayısının % x i: A x ile çarpılır sonra 100’e bölünür.
% x i A olan sayı: A x’e bölünür sonra 100 ile çarpılır.
% x i A olan sayının % y si: (bu sayıya B diyelim) B.(x/100)=A bu denklem ile B sayısı bulunur ve B.(y/100) denklemi ile sonuca
ulaşılır.
** Buğday-un-hamur problem sorularında (Buğday:B olsun) ; Buğdayın %x inden un, unun %y sinden hamur elde ediliyorsa A gram hamur
elde edebilmek için: B.(x/100).(y/100)=A denklemi ile buğdayın ağırlığına ulaşılabilir.
** Erkek-kız öğrenci problem sorularında erkek sayısı: e, kız sayısı: k olsun. Sınıfın %x’i erkekse
Kız sayısının sınıfa oranı: (100-x) / 100, kız sayısının erkek sayısına oranı: (100-x) / x
dışarıdan a sayıda kız gelirse; (e+k): sınıf mevcudu demektir. (e+k). (x/100) / (e+k) + a (erkek yüzdesi üzerinden gidilirse
dışarıdan gelen kız sayısı sadece paydaya yani toplam mevcuda eklenir)
dışarıdan b sayıda erkek gelirse: (e+k). (x/100) +b / (e+k) + b (erkek yüzdesi üzerinden gidilirse dışarıdan gelen erkek sayısı hem
paya yani erkek mevcuduna hem de paydaya yani tüm mevcuda eklenir)
** Erkek-kız öğrenci problem sorularında erkek sayısı: e, kız sayısı: k olsun. Sınıfın %a dan fazlası kız ise;
Kız sayısı en az; (e+k).(a/100) + 1 dir.
Erkek sayısı en fazla; (e+k). [(100-a)/100]-1 dır.
** Erkek-kız öğrenci problem sorularında erkek sayısı: e, kız sayısı: k olsun. Sınıfın %45’i kız ise;
Kız oranı: %45, erkek oranı: %55 dir. Dolayısıyla 45 ve 55 in oranlanıp sadeleşmesinden k=9m, e:11m çıkar. Buna göre kız öğrenci
sayısı kesinlikle 9’un katı, erkek öğrenci sayısı 11’in katı bir sayı olacaktır. Toplam mevcutta (9m+11m=20m) 20nin katı bir sayı
olacaktır.
Yukarıdaki verilere (e+k)=20m olduğuna göre buradan m bulunur ve 9 la çarpılarsa k’ya ulaşılır.
Yukarıdaki verilere göre (e+k) yani toplam mevcut 600’dan fazla ise; 20nin katı olan 600’den fazla olan ilk sayıya ulaşılır. Bulunan
620 sayısı 20ye bölünür m sayısı yani 31 bulunur. 11 ile çarpılarak minimum erkek sayısı 341’e ulaşılır.
** Lastik sündürme (boy uzatma) problem sorularında; x cm uzunluğundaki lastiğin boyu çekildiğinde %130 uzuyor ve A cm oluyorsa: x.
(100+130) / 100 = A bu denklem ile lastiğin ilk boyuna ulaşılabilir.
** Kapasite (güç) ile süre, fire (üzüm-sabun kuruma / yumurta kırılma) ile maliyet vb. ters orantılı problem sorularında;
Kapasite (ya da kişi sayısı) %x oranında artarsa [(100+x)/100] yeni oluşan süre (ilk süre: t olsun) için: t. [100 /
(100+x)) … (ters çevir çarp tekniği)
Kapasite (ya da kişi sayısı) %x oranında azalırsa [(100-x)/100] yeni oluşan süre (ilk süre: t olsun) için: t. [100 / (100-
x)] … (ters çevir çarp tekniği)
Yumurtanın %x i kırılırsa (yaş üzümün %x i kurursa) yumurtanın ilk maliyeti (m olsun) satış durumuna göre değişir (fire olduğu
için maliyette cepten artı para olarak çıkmasa da satış durumuna göre maliyet artmıştır) Yani oluşan maliyet: m. [100 / (100-x)] …
(ters çevir çarp tekniği)
Çok nadiren çıkan süte su ekleme problem soruları firenin tam tersidir. Süte sütün %x i kadar su katılırsa sütün ilk maliyeti (m
olsun) satış durumuna göre değişir (ekleme olduğu için maliyette cepten eksi para olarak çıkmasa da satış durumuna göre maliyet
azalmıştır) Yani oluşan maliyet: m. [100 / (100+x)] … (ters çevir çarp tekniği)
** Ticaret; Alış fiyatı + Gider = Maliyet fiyatı + Kar = Etiket fiyatı – İndirim = Satış fiyatı
Maliyet: m, etiket fiyatı: e, satış fiyatı: s olsun.
Maliyete %x kar yapılırsa: m. (100+x) /100= s (veya e)
Maliyetten %x zarar yapılırsa: m. (100-x) / 100 = s (veya e)
Etiket üzerinden (satış üzerinden) %x kar yapılırsa: e.(100+x) / 100 = s
Etiket üzerinden (satış üzerinden) %x zarar yapılırsa: e.(100-x) / 100 = s
Satışa göre %x kar yapılırsa: s. (100-x) / 100 = m (kar olunca %den çıkarılır)
Satışa göre %x zarar yapılırsa: s. (100+x) / 100 = m (zarar olunca %ye eklenir)
Maliyete %x kar yapıldıktan sonra (o fiyat üzerinden) %y indirim yapılırsa: m. [(100+x)/100] . [(100-y)/100] = s
Etikete %x zam yapıldıktan sonra tekrar %y zam yapılırsa: e. [(100+x)/100] . [(100+y)/100] = s
Etikete %x zam yapıldığında maliyet üzerinden %y kar ediliyorsa: e. [(100+x)/100] = m. [(100+y)/100]
Satıştan (satış üzerinden) %x indirim yapıldığında maliyet üzerinden %y zarar ediliyorsa: s. [(100-x)/
100] = m. [(100-y)/100]
** X e alınmış Y’ye satılmış ise;
X < Y ise kar edilmiştir. % Kar oranı= (Y-X) / X = (? / 100) … paydada maliyet (alış) olur.
X > Y ise zarar edilmiştir. % Zarar oranı= (X-Y) / X = (? /100) … paydada maliyet (alış) olur.
**Enflasyon/maaş problem sorularında;
Enflasyon: %20 ise, maaşlara %32 zam yapılıyorsa (enflasyon: ekmek fiyatına zam olsun. ekmek fiyatı: 100); (maaş:100)
100. (120/100) = 120 (ekmeğin zamlı fiyatı); 100. (132/100) = 132 (zamlı maaş)
Zamlı maaş > Ekmeğin zamlı fiyatı ise memurun alım gücü artar.
Artış oranı= 132-120 / 120 (paydada her zaman ekmeğin fiyatı yani enflasyonlu fiyat olacak)
Not: Enflasyon oranı maaşa zam oranından büyükse memurun alım gücü azalır. Bu durumda
‘’ (enflasyonlu fiyat – zamlı maaş) / enflasyonlu fiyat (yine) ‘’
** Fiyatları düşürünce müşterinin arttığı problem sorularında;
Birim fiyatı 100, müşteri sayısını 100 kabul edelim. Fiyatları %25 düşürünce müşteri sayısı %40 artıyorsa;
100.100 —-‡ 75.140 = 10.000 TL —-‡ 10.500 TL oluyor. %5 kar
Kaynak : Aziz Soydan Develioğlu